如何理解Gabor滤波器

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介绍

我们已经知道，傅里叶变换是一种信号处理中的有力工具，可以帮助我们将图像从空域转换到频域，并提取到空域上不易提取的特征。但是经过傅里叶变换后，图像在不同位置的频度特征往往混合在一起，但是Gabor滤波器却可以抽取空间局部频度特征，是一种有效的纹理检测工具。 [//]:http://ww1.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4au7dsla3j20ug0bjwfq.jpg

如何生成一个Gabor滤波器

在二维空间中，使用一个三角函数(如正弦函数)与一个高斯函数叠加我们就得到了一个Gabor滤波器1，如下图.

[//]:(http://ww3.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4auqgsxedj209n0jutal.jpg)

Gabor核函数

二维Gabor核函数由一个高斯函数和一个余弦函数相乘得出，其中$\theta,\phi,\gamma,\lambda,\sigma$为参数。
[//]:(http://ww3.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4av9098mkj21bz096t9x.jpg)
在OpenCV中的getGaborKernel函数里需要传入的参数除了上述5个外，还需要传入卷积核的大小。

cv::Mat getGaborKernel(Size ksize, double sigma, double theta, double lambd, double gamma, double psi=CV_PI*0.5, int ktype=CV_64F );

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参数

Orientation $\theta$

$\theta$表示Gabor滤波核中平行条带的方向，有效值为从0~360度的实数。 [//]:(http://ww3.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4awqjgwonj21410aamxh.jpg)

Phase offset $\phi$

$\phi$表示Gabor核函数中余弦函数的相位参数，有效值为-180度~180度，0度和180度对应的方程与原点对称，-90度和90度的方程分别于原点成中心对称，可两项直角坐标系中的余弦函数。 [//]:(http://ww2.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4awujuiamj20ps0a9jrh.jpg)

Aspect ratio $\gamma$

$\gamma$，纵横比，更准确的应称为空间纵横比，表示Gabor滤波器的椭圆度。 [//]:(http://ww2.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4ax3785jbj21a80aajrp.jpg)

Wavelength $\lambda$

$\lambda$表示Gabor核函数中余弦函数的波长参数，有效值应大于2，以像素为单位。 [//]:(http://ww4.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4axbdutgnj20r50a9glo.jpg)

The standard deviation $\sigma$

$\sigma$表示Gabor核函数中高斯函数的标准差，该参数决定了Gabor滤波核可接受区域的大小，$\sigma$不能被直接指定，其值与b(Bandwidth)和$\lambda$有关。

Bandwidth(b)表示高低频率之差。在实际选取Gabor滤波核中，我们会选取频域中半响应空间频度带宽(the half-response spatial frequency bandwidth)，或者半峰量级(the half-peak magnitude)，他们都指的是频域中Bandwidth/2的空间位置。b,$\lambda$和$\sigma$的关系如下: [//]:(http://ww3.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4axt1elycj214807imxv.jpg) [//]:(http://ww4.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4axbdutgnj20r50a9glo.jpg)

演示

这里用一张程序运行动态图可以清楚的显示出Gabor滤波核随各个参数变化的情况, 该程序的链接。

如下为不同参数调节下，Gabor滤波器作用于图像的效果演示

如何设计Gabor滤波器来提取特征

为了充分利用Gabor滤波器的特点，我们必然需要设计不同方向，不同尺度的GaborL滤波器来提取特征，2中提到了如下策略来使滤波器尽量无重叠覆盖频域中的各个方向：

“Then the design strategy is to ensure that the half-peak magnitude support of the filter responses in the frequency spectrum touch each other as shown in Fig. 1.”

[//]:(http://ww2.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4azv67xdnj20lv0e6jsk.jpg)

首先通过如下公式计算出$a$, $\sigma_x$, $\sigma_y$,其中$U_h$,$U_l$分别表示滤波器的中心频度，及波长$\lambda$的倒数，K为方向的数量，S为尺度的数量。 [//]:(http://ww1.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4b0l8hpagj21ch0i2gnj.jpg)

然后将上述结果带入下列Gabor核函数方程，从而求得Gabor卷积核上某点的值。其中𝑚=0,1,…,𝑆−1, n=0,1,…,𝐾−1, 𝜃=𝑛𝜋/𝐾 [//]:(http://ww3.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4b0lk3dl2j21ch0gcjto.jpg)

但是在OpenCV中的Gabor核函数采用式(1)的形式，因此我们需要对两种不同表达的Gabor核函数中的参数进行一些转换。比较两种表达式，不难看出，式(4)中的2$\pi$jWx’是一个复数形式，可以分解成正余弦和的形式，与式(1)中的余弦函数部分相对应，式(4)最前端的部分为幅度。因此两种形式的主要区别在于高斯函数的指数以及x’的表达不同。通过如下转换，就可以将式(4)中的参数转换成式(1)中的参数。 [//]:(http://ww4.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4b11rool8j20dz08pdgs.jpg) [//]:(http://ww4.sinaimg.cn/large/535663c3gw1f4b13vq3aej219r0n1whc.jpg)

不同的卷积核(kernel size)大小对Gabor滤波核的影响

如果卷积核的边长小于波长，那么整个波形不能包括在卷积核中，使得波形边缘的滤波效果起不到作用。相反，如果如果卷积核的边长大于波长，则不会对滤波器产生什么影响。

相位变化对Gabor滤波核的影响

通过相位变化可以改变滤波核中心点的波形，如果滤波核中心点正对波峰($\phi=0$)，则会对整张图像起到加强的作用，如果滤波核中心点正对波谷($\phi=180$)，则会对整张图像起到减弱的作用。我们应当避免滤波核中心点的波形位于零交叉点，因为这样我们可能会看不到滤波器的任何效果。

References

[1] Prasad V S N, Domke J. Gabor filter visualization[J]. J. Atmos. Sci, 2005, 13.

[2] Manjunath B S, Ma W Y. Texture features for browsing and retrieval of image data[J]. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, 1996, 18(8): 837-842.

[3] Movellan J R. Tutorial on Gabor filters[J]. Open Source Document, 2002.

[4] Celik T, Lee H K, Petznick A, et al. Bioimage informatics approach to automated meibomian gland analysis in infrared images of meibography[J]. Journal of optometry, 2013, 6(4): 194-204.

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[6] Advances in Digital Document Processing and Retrieval[M]. World Scientific, 2013.

[7] 孔锐, 张冰. Gabor 滤波器参数设置[J]. 控制与决策, 2012, 27(8): 1277-1280.

Useful Web Sites

http://www.cs.rug.nl/~imaging/simplecell.html

http://www.juergenwiki.de/old_wiki/doku.php?id=public:gabor_filter

帮助理解Gabor滤波器的有关文档，以及Gabor滤波器的可视化程序已经上传到Github.

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